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科里奥利质量流量计在线连续测量流体密度的计算验证

科里奥利质量流量计在线连续测量流体密度的计算验证科里奥利质量流量计是一种直接测量流体质量流量的仪表,同时可在线检测流体密度,出于对其传感器结构优化设计的目的,建立了振动微分方程,其解可给出流体密度在线检测的依据,并给出密度与温度的对应关系,得出双U型管谐振频率的推导结果,并进行具体计算的验证。
科里奥利流量计是利用流体在直线运动的同时处于一旋转体系中,产生与质量流量成正比的科里奥利效应的原理而制成的一种直接测量质量流量和流体密度的仪表,具有较高的精度和较好的重复性。
科里奥利质量流量计是由传感器、信号处理系统等组成。传感器由双U型管组成。类似于一个音叉共振系统。本文主要研究双U型管谐振频率与仪表结构参数之间的定量依存关系,以利指导传感器结构优化设计,并给出流体密度在线检测依据和密度与温度的对应关系,计算结果得到了实例验证。 
1 振动微分方程的建 
首先,在驱动器的电磁力驱动下,可将充液U型管绕o-o轴的振动看成是刚体以一定的角速度ω的旋转运动,见图1。
设U型管(任意一根)绕o-o轴的转动惯量为I,总的角动量为L,根据刚体转动定理有
式中,ri(或简写r)为该质点离o-o轴的距离。对于确定的U型管,其绕o-o轴的转动惯量是恒定的,故有
式中,Ip为U型管本身材质的转动惯量;If为管中充填的流体的转动惯量;Id为附加在管子上的驱动器、检测器、紧固件等材质的转动惯量。
因而式(3)可以写成如下形式
上述的运动,显然不在真空中进行,空气的阻力总是存在的,为了维持一个稳定的旋转运动,电磁驱动器必须给出一个附加的转矩M″d,以克服媒质的阻力。对于一定材质和几何尺寸的刚体,角速度ω越大,所需的附加转矩M″d亦越大,即M″d∝ω,写成等式为
下面考虑U型管作为弹性体在驱动力作用下的形变部分的运动。例如,当一根长l的直管其自由端向上运动时,见图2,其弹性形变设为Δz,
Δz与集中作用在A点的力F成正比,F∝Δz∝lθ,即M″d=Fl∝l2θ,这显然是总驱动力矩中必定包含一个分量M″d,且M″d∝l2θ,用以引起弹性形变。若令已知的U型管单管的弹性系数为k(其大小与材质的弹性模量及几何尺寸有关),则对整个U型管(它包括两根平行的长度为l的直管和一段回弯段),如将回弯部分只看作连杆,则 
Md由驱动线圈中交变的驱动电流所引起的磁场与永就磁钢的相互作用力而产生,显然Md是交变的,故式(7)描述的是一个不断改变方向的旋转运动,即振动运动。
2 方程的 
将式(7)改写成如下形式(注意Md可以写成
则得出结论,它们具有完全相同的形式。已知式(9)的通解为
第以部分表示该振动系统最初所含有的阻尼振动,当振动达到稳定状态后,这一部分等于零。第二部分是稳定的,它以与外力相同的圆频率作振动,而当外力与系统的固有频率合拍时,振幅A会达到蕞大值。其幅值和初相位分别为
如上所述,我们关心的是稳定受迫振动部分,即应有
这与实际观察到的波形是相一致的,检测器获得的是正弦或余弦电压信号,因为式(10)可以写成θ(t)=θmsin(ω0t+π/2+Φ′)=θmcos(ω0t+Φ′);且检测所得正弦电压信号与驱动电流的相位差为π/2+Φ′=π。
由式(10a)可知角振幅的大小取决于驱动力矩的大小(成正比),亦与阻力矩系数成反比。当驱动频率提高时,振幅亦会降低。U型管回弯终端的蕞大线振幅为(I+r)θm 
3 谐振频率 
由谐振圆频率的定义可知,谐振频率
为求得谐振频率的具体表达式,应该分别求出转动惯量Ip、If、Id及弹性系数k。
(1)转动惯量的求解 管子本身绕o-o轴的转动惯量Ip可以分解为两直管段转动惯量与回弯部分转动惯量之和。
一根直管段(见图3)的转动惯量,可表示为
半径为r的回弯部分管段对o-o轴的转动惯量,可分解为绕o′-o′轴的转动惯量,绕质心轴线o″-o″的转动惯量等几步进行计算,见图4,最后再换算为对o-o轴的转动惯量。先求绕o′-o′轴的转动惯量I2。
再利用平行轴原理,求该回弯部分绕o″-o″轴(即通过质心)的转动惯量I3,见图5,显然有
为求得o″-o″与o′-o′轴间的距离a,我们将该回弯部分(实为半圆)的弧分成四段(见图5中的1、2、3、4)。(1 + 4)弧段对o″-o″轴的转矩应等于(2+3)弧段对o″-o″轴的转矩。于是可求得cosθ0=2/π,由图5可知a=rcosθ0=2R/π,代入I3,则
当传感器结构、材质、几何尺寸、被测液体已被确定时,就可依据式(16)~式(18)求出Ip、If和Id。
(2)弹性系数k的求解 将U型管两侧的直管段部分分别看成是一个薄壁圆筒式的(单端固定)悬臂梁,见图6,若在自由端作用集中力F,且当梁的变形ymax≤0.01l时,其挠度曲线的微分方程可以表为[2]
对上式进行两次积分并代入边界条件后,解为(注意x轴坐标原点取在自由端处)
式中惯性矩是指管子的截面积(图7中的剖面线部分)对y轴或z轴的平面惯性矩(它们完全对称),可通过极惯性矩而求得,设环形中某环微面积元为dF,该处离轴心的距离为R,则极惯性矩
环面对轴y或轴z的惯性矩为
北京首科石化自动化设备有限公司DMF -1 - 7型质量流量计的结构参数如下:
l= 0.43 m;r= 0.18 m;d0= 0.05 m;di=0.046 m;md=0.5 kg;E=159.58 GPa;ρp=7.9×103kg/m3;ρfair= 1.226 kg/m3,ρfwater= 1000kg/m3,将其代入式(21)计算所得fair= 89.97Hz;fwater=71.15 Hz,与实测结果f′air=86 Hz和f′water= 68 Hz相比较其吻合率达95%。
实测值与计算值存在5%的偏差,其主要原因是实际U型管的材质的不均匀性、加工尺寸的偏差、焊接后存在应力等因素所致,进一步改善工艺后将会提高吻合率 
4 流体密度在线连续检测
在式(21)中,注意到不锈钢的密度ρp是空管时空气密度(ρf=ρ0)的6000倍以上,则表达空管时的谐振频率f0时,式中的diρf项可以被略去,简化后不难写出式(21)的反函数式为
kc是一个仅与仪表结构参数有关的常数,在实际操作中,常用已知密度的标准溶液充填双U型管后而测定之,可以获得十分准确的kc值。对某特定的质量流量传感器,当f0与kc均已确定之后,则通过该传感器的流体的密度ρf与其谐振频率f之间就有了惟一对应的依存关系,这种关系与流体的流速的大小无关,它们的对应关系有如图8所示的指数曲线。上述关系为科氏力质量流量计在作流体质量流量检测的同时作为流体密度在线连续测定奠定了基础。该质量流量计在出厂时,已由厂方将f0值和kc值作为常数输入内存(也允许用户根据现场标准溶液校准后经键盘输入),然后变送器的单片微处理器根据实时检测到的f值进行运算而显示ρf值,并可输出与之对应的各种标准化信号或与上位PC机随时通信,交换检测信息。
科氏力质量流量计能够测量流体的质量流量(m/t)、流体的密度(ρf)、温度(T)以及两相流的比率(浓度)等。本文给出了这些被测量与传感器的结构参数的定性、定量关系的数学表述,通过物理模拟和理论分析、建立了相关的微分方程并求解后得出了流体的质量流量和流体密度可由两个确定的函数所表述。
本文给出流体密度ρf与传感器谐振频率f之间的依存和定量关系;同时,通过传感器谐振频率的确定来评估传感器是否处于最佳工况(例如f应在70~90 Hz之间为最适宜),实现传感器优化设计。因此本文是指导进行传感器结构设计的依据,也为相应的智能化信号变送器提供了信号处理的数学模型。
点击次数:  更新时间:2017-04-09 21:32:13  【打印此页】  【关闭